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例1.已知 (R,+,x)为域，请选出正确的说法:(A)(R,+,x)也是整区;
ABCD
(B)R中无零因子;
C)R在x运算上满足第一、二、三指数律;
(D)R只有平凡理想;
(E)R只有平凡子环。
域的特征：
域中，非0元素的加法周期
思考、在模7整数环R,中，√4、√-5分别等于什么2 ，3
子域：
子集仍然是域
{0}不是域，子域也不一定是原本的理想
最小子域：
属于任何子域的子域
特征为p的最小子域同构于Rp
如果是特征为0，那就是和有理数域同构（间接说明有理数域自己就是特征0的最小子域）
素域
设p为质数或等于0，特征为p的任意域F包含Rp为其最小子域。
我们把R,称为最小域或素域，其中p为0或质数。
今后，对任意a属于F，代数式na有两种等价的解释:
①可以看作是a的n倍(即n个a相加)
②可以看作是F中两个元素(n、a)的乘积。
显然这两种解释的计算结果都等同于(ne)a。
素域的结论
结论2:有限域的特征为质数p(否则RF，与元数有限矛盾)
结论3:设F的特征是质数p，则(a+b)^P=a^p+b^p
结论4:设F的特征是质数p,则(a-b)^p= a^p-b^p。
结论5:设F的特征是质数p，则(a±b)^p=a^p±b^p
结论6:设F的特征是质数p，则(a1+…+an)^P=a1^p+a2^p....
结论7:设F的特征是质数p，n不是p的倍数，则n^(p-1)=1 (费马小定理)
域上的多项式
设R是有壹的交换环，N是R的理想。于是，R/N是域，必要而且只要N是R的极大理想。
用什么样的有壹交换环R来构造域?
整数环? 错
极大理想为pz，只能构造出有限素域Rp.
有理数域？错
极大理想{0}的话只能构造出自身同构的理想
多项式环来构造域
定义(域上关于文字x的多项式)设F是域，x是一个抽象的符号，F上面一个文字x的多项式形式如下:a0x^n + a1x^n-1 ...+ an其中 n、n-1、….、0是非负整数，系数a0、a1、a2∈ F。x的多项式可用f(x)、g(x)等代表。
1,多项式的次数：
最大项的次数
常数多项式0的次数是负无穷
1的次数是0
2,多项式相等
F(x)=g(x)
可以添常数项
次(f+g)<=max(f+g)
次(f+g)=次(g)+次(f)
F[x] 是域F上的多项式集合, |F[x]|=p^n
思考.F为域，Fx]为F上的所有多项式的集合，十、x运算为多项式加法、乘法运算，回答下列问题:
(1)(F[x],十,X)是否为环?是
(2)(F[x],+,X)是否为有壹环?是
(3)(F[x],+,X)是否为交换环?是
(4)(F[x],+,X)是否为无零因子环? 是
(5)(F[x],+,X)是否为整区?是
(6) F 是否为(F|x],+,X)的子域?是
(7)(F|x],+,X)中的零、壹分别是哪两个多项式?0,1
(8)(F[x],+,X)中任一多项式f(x)的加法逆元是什么?-f(x)
多项式环是整区
余式和商式:
结论1:
对域F上的任意两个多项式f(x)和g(x),g(x)≠0，必定存在多项式q(x)和r(x)，使得 次r(x)<次g(x)，f(x)=q(x)g(x)+r(x),q(x)称为商式，r(x)称为为余式。
注意:此结论适用范围是域上的多项式，如果要扩充到整区(有壹、交换、无零因子环)上的多项式，要将g(x)限定成首系数为1的多项式。(反例如整数环上多项式f(x)=x和g(x)=2)
结论2:
余和商都是确定的
整除:
若对f(x)和g(x)有h(x)，使f(x)=h(x)g(x)则称g(x)整除f(x)，即g(x)f(x)。或说g(x)是f(x)的因式，f(x)是g(x)的倍式。
练习.
在有理域R。上，以下哪些多项式整除关系成立:ABCEF
(A)2|4
(B)4|2
(c)4|0
(D)0|4
(E)4|x
(F)8x|x^2+x
整除性质:
(1)若flg、g|h，则f|h.
(2)若fg，则f|gh。
(3)若f|g、f|h，则f|lg±h。
(4)若f整除g1…,gn，则f|h1,g1,+...+hn gn。
(5)若在一等式中，除某项外，其余各项都是f的倍式，则该项也是f的倍式。
(6)若f|g、g|f，则f与g只差一个非0常数因子,
相通:
两个多项式，如果只差一个非0常数因子，则称它们是相通的。
(7)同一系列的多项式的最高公因式相通
最高公因式:
若d|f,,…,dlf,，则称d是f,,…,f,的公因式。如果d是f.,…,f,的公因式，而且f,…,f,的任意公因式整除d，则称d为f,…,f,的最高公因式。
(1)4和x的公因式为所有非零常数多项式a:它们的最高公因式也为所有非零常数多项式a;
(2)8x和x^2+x的公因式为所有形如a和ax(a≠0)的多项式，它们的最高公因式为所有形如ax(a≠0)的多项式。
真因式：
f|g，f部位常数也不和g相通
质式、不可约多项式：非常元素且没有真因式的多项式
不是,是,是`
定理3 任意多项式f和g必有最高公因式。
定理4 f、g的最高公因式d中可以表为f、g的倍式和，即表为:d=λf+μg ,其中λ、μ都是多项式。
定理5 若p是质式而p|f1..fn,，则p整除f1…,fn,之一。
互质:
若f1,…,fn除了非0常元素外没有公因式，则说f1,…,fn是互质的。
F1,…,fn,互质<-->其最高公因式为非0常元素<-->1为其一个最高公因式
定理6任一非常数多项式恰有一法表为质式的乘积恰有一法”:把相通的质式看作一样，并且不考虑质因式的次序。
定理7 任意非常数多项式f可以唯一地表为下面的形式:f=c*p1^r1*p2^r2…pn^rn,其中P是互不相通的质式，ri是正整数。
结论:
结论1：域f上的多项式环F[x]的理想都是主理想
题目:
1.写出N:
2.写出R2[x]中模m(x)的所有余式
3.写出所有N的剩余类
4.写出剩余环 R2[x]/N
如果拓展成为域F,k为特征，n为次数
结论2:
(m(x))是F[x]的极大理想<---->m(x)是f[x]中的质式
域F上的模m(x)多项式环
对比:
