电影资源网站开发,高端网站建设的价格,青岛网站搜索排名,一个网站能用asp c4.5.1 范数与权重衰减
整节理论#xff0c;详见书本。
4.5.2 高维线性回归
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import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l# 生成一些数据#xff0c;为了使过拟合效果更明显#xff0c;将维数增加到 200 并使用一个只包含 20 个样…4.5.1 范数与权重衰减
整节理论详见书本。
4.5.2 高维线性回归
%matplotlib inline
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l# 生成一些数据为了使过拟合效果更明显将维数增加到 200 并使用一个只包含 20 个样本的小训练集。
n_train, n_test, num_inputs, batch_size 20, 100, 200, 5
true_w, true_b torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05 # 设置真实参数
train_data d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter d2l.load_array(test_data, batch_size, is_trainFalse)4.5.3 从零开始实现
初始化模型参数
def init_params():w torch.normal(0, 1, size(num_inputs, 1), requires_gradTrue)b torch.zeros(1, requires_gradTrue)return [w, b]定义 L 2 L_2 L2 范数惩罚
def l2_penalty(w):return torch.sum(w.pow(2)) / 2定义训练代码实现 损失函数直接通过 d2l 包导入损失包含了惩罚项。
def train(lambd):w, b init_params()net, loss lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_lossnum_epochs, lr 100, 0.003animator d2l.Animator(xlabelepochs, ylabelloss, yscalelog,xlim[5, num_epochs], legend[train, test])for epoch in range(num_epochs):for X, y in train_iter:# 增加了L2范数惩罚项# 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量l loss(net(X), y) lambd * l2_penalty(w)l.sum().backward()d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)if (epoch 1) % 5 0:animator.add(epoch 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))print(w的L2范数是, torch.norm(w).item())忽略正则化直接训练
train(lambd0)w的L2范数是 14.042692184448242使用权重衰减
train(lambd3)w的L2范数是 0.351609319448471074.5.4 简洁实现
def train_concise(wd):net nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))for param in net.parameters():param.data.normal_()loss nn.MSELoss(reductionnone)num_epochs, lr 100, 0.003trainer torch.optim.SGD([{params:net[0].weight,weight_decay: wd}, # PyTorch默认同时衰减权重和偏置此处使用 weight_decay指定仅权重衰减{params:net[0].bias}], lrlr)animator d2l.Animator(xlabelepochs, ylabelloss, yscalelog,xlim[5, num_epochs], legend[train, test])for epoch in range(num_epochs):for X, y in train_iter:trainer.zero_grad()l loss(net(X), y)l.mean().backward()trainer.step()if (epoch 1) % 5 0:animator.add(epoch 1,(d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))print(w的L2范数, net[0].weight.norm().item())train_concise(0)w的L2范数 12.836501121520996train_concise(3)w的L2范数 0.3978956639766693练习
1在本节的估计问题中使用 λ \lambda λ 的值进行实验。绘制训练精度和测试精度有关 λ \lambda λ 的函数图可以观察到什么
随着 λ \lambda λ 的增大可以改善过拟合的现象但是 λ \lambda λ 过大也会影响收敛。
for i in (0, 2, 8, 32, 128, 256):train_concise(i)w的L2范数 0.0083088437095284462使用验证集来找最优值 λ \lambda λ。它真的是最优值吗
不至于说是最优的毕竟再怎么样验证集也和训练集分布有些许区别只能说是比较接近最优值。 3如果我们使用 ∑ i ∣ w i ∣ \sum_i|w_i| ∑i∣wi∣ 作为我们选择的惩罚 L 1 L_1 L1正则化那么更新的公式会是什么样子
如果使用 L 1 L_1 L1 正则化则最小化预测损失和惩罚项之和为 L R ( w , b ) 1 n ∑ i 1 n 1 2 ( w T x ( i ) b − y ( i ) ) 2 λ ∑ i 1 n ∣ w i ∣ LR(\boldsymbol{w},b)\frac{1}{n}\sum_{i1}^n\frac{1}{2}(\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{x}^{(i)}b-y^{(i)})^2\lambda\sum^n_{i1}|w_i| LR(w,b)n1i1∑n21(wTx(i)b−y(i))2λi1∑n∣wi∣ L 1 L_1 L1 范数有求导问题在此规定在不可导点 x 0 x0 x0 的导数为 0则 w ← w − η ∂ L R ( w , b ) ∂ w w − η ∣ B ∣ ∑ i ∈ B x ( i ) ( w T x ( i ) b − y ( i ) ) − λ η sign ( w ) \boldsymbol{w}\gets\boldsymbol{w}-\eta\ \frac{\partial LR(\boldsymbol{w},b)}{\partial\boldsymbol{w}}\boldsymbol{w}-\frac{\eta}{|B|}\sum_{i\in B}\boldsymbol{x}^{(i)}(\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{x}^{(i)}b-y^{(i)})-\lambda\ \eta\ \text{sign}(\boldsymbol{w}) w←w−η ∂w∂LR(w,b)w−∣B∣ηi∈B∑x(i)(wTx(i)b−y(i))−λ η sign(w) 4我们知道 ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 w T w ||\boldsymbol{w}||^2\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{w} ∣∣w∣∣2wTw。能找到类似的矩阵方程吗见 2.3.10 节中的弗罗贝尼乌斯范数
弗罗贝尼乌斯范数时矩阵元素平方和的平方根 ∣ ∣ X ∣ ∣ F ∑ i 1 m ∑ j 1 n x i j 2 ||\boldsymbol{X}||_F\sqrt{\sum^m_{i1}\sum^n_{j1}x^2_{ij}} ∣∣X∣∣Fi1∑mj1∑nxij2
和L2范数的平方相似弗罗贝尼乌斯范数的平方 ∣ ∣ X ∣ ∣ F 2 X T X ||\boldsymbol{X}||_F^2\boldsymbol{X}^T\boldsymbol{X} ∣∣X∣∣F2XTX 5回顾训练误差和泛化误差之间的关系。除了权重衰减、增加训练数据、使用适当复杂度的模型还有其他方法来处理过拟合吗
Dropout暂退法、多种模型组合等 6在贝叶斯统计中我们使用先验和似然的乘积通过公式 P ( w ∣ x ) ∝ P ( x ∣ w ) P ( w ) P(w|x)\propto P(x|w)P(w) P(w∣x)∝P(x∣w)P(w) 得到后验。如何得到正则化的 P ( w ) P(w) P(w)
以下参见王木头大佬的视频《贝叶斯解释“L1和L2正则化”本质上是最大后验估计。如何深入理解贝叶斯公式》
使用最大后验估计令 w arg max w P ( w ∣ x ) arg max w P ( x ∣ w ) P ( x ) ⋅ P ( w ) arg max w P ( x ∣ w ) ⋅ P ( w ) arg max w log ( P ( x ∣ w ) ⋅ P ( w ) ) arg max w ( log P ( x ∣ w ) log P ( w ) ) \begin{align} w\mathop{\arg\max}\limits_{w}P(w|x)\\ \mathop{\arg\max}\limits_{w}\frac{P(x|w)}{P(x)}\cdot P(w)\\ \mathop{\arg\max}\limits_{w}P(x|w)\cdot P(w)\\ \mathop{\arg\max}\limits_{w}\log(P(x|w)\cdot P(w))\\ \mathop{\arg\max}\limits_{w}(\log P(x|w)\log P(w))\\ \end{align} wwargmaxP(w∣x)wargmaxP(x)P(x∣w)⋅P(w)wargmaxP(x∣w)⋅P(w)wargmaxlog(P(x∣w)⋅P(w))wargmax(logP(x∣w)logP(w))
其中 ( 2 ) ⇒ ( 3 ) (2)\Rightarrow(3) (2)⇒(3) 是由于分母 P ( x ) P(x) P(x) 是与 w w w 无关的常数故可以忽略。 ( 3 ) ⇒ ( 4 ) (3)\Rightarrow(4) (3)⇒(4) 是由于习惯上添加 log \log log 运算。 P ( w ) P(w) P(w) 作为先验概率可以任取
如果取高斯分布 w ∼ N ( 0 , σ 2 ) w\sim\mathrm{N}(0,\sigma^2) w∼N(0,σ2)则出现 L 2 L_2 L2 正则化 log P ( w ) log ∏ i 1 σ 2 π e − ( w i − 0 ) 2 2 σ 2 − 1 2 σ 2 ∑ i w i 2 C \begin{align} \log P(w)\log\prod_i\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(w_i-0)^2}{2\sigma^2}}\\ -\frac{1}{2\sigma^2}\sum_iw_i^2C \end{align} logP(w)logi∏σ2π 1e−2σ2(wi−0)2−2σ21i∑wi2C
如果取拉普拉斯分布 w ∼ L a p l a c e ( 0 , b ) w\sim\mathrm{Laplace}(0,b) w∼Laplace(0,b)则出现 L 1 L_1 L1 正则化 log P ( w ) log ∏ i 1 2 b e − ∣ w i − 0 ∣ b − 1 b ∑ i ∣ w i ∣ C \begin{align} \log P(w)\log\prod_i\frac{1}{2b}e^{-\frac{|w_i-0|}{b}}\\ -\frac{1}{b}\sum_i|w_i|C \end{align} logP(w)logi∏2b1e−b∣wi−0∣−b1i∑∣wi∣C
太奇妙了
