简单的网站设计图,短链接恢复长连接,网页设计与制作教程邓长寿,单机网页游戏网站一、问题描述
利用高斯消去法#xff0c;LU 分解及PALU 分解求解非线性方程组。
二、实验目的
掌握高斯消去法、LU 分解、PALU 分解的算法原理#xff1b;编写代码实现利用高斯消去法、LU 分解、PALU 分解来求解线性方程组。
三、实验内容及要求
1. 利用顺序高斯消去法求…一、问题描述
利用高斯消去法LU 分解及PALU 分解求解非线性方程组。
二、实验目的
掌握高斯消去法、LU 分解、PALU 分解的算法原理编写代码实现利用高斯消去法、LU 分解、PALU 分解来求解线性方程组。
三、实验内容及要求
1. 利用顺序高斯消去法求解如下方程组。 注意将顺序高斯消去法封装为一个函数函数名Gauss该函数对应的文件同样命名为Gauss。
function x Gauss(A, b)n length(b);for k 1:n-1for i k1:nfactor A(i,k) / A(k,k);A(i,k1:n) A(i,k1:n) - factor * A(k,k1:n);b(i) b(i) - factor * b(k);endendx zeros(n, 1);x(n) b(n) / A(n,n);for i n-1:-1:1x(i) (b(i) - A(i,i1:n) * x(i1:n)) / A(i,i);end
end% 使用例子
A [2 -2 -1; 4 1 -2; -2 1 -1];
b [-2; 1; -3];
x Gauss(A, b);
disp(x);2. 对1 中的线性方程组利用LU 分解进行求解并输出L 和U。
注意将本部分代码封装为一个函数函数名LU该函数对应的文件同样命名为LU。
function [L, U] LU(A)[n,~] size(A);L eye(n);U A;for k 1:n-1for i k1:nfactor U(i,k) / U(k,k);L(i,k) factor;U(i,k:n) U(i,k:n) - factor * U(k,k:n);endend
end% 使用例子
A [2 -2 -1; 4 1 -2; -2 1 -1];
[L, U] LU(A);
disp(L);
disp(U);3. 对1 中的线性方程组利用PALU 分解进行求解并输出P、L 和U。
注意将本部分代码封装为一个函数函数名PLU该函数对应的文件同样命名为PLU。
function [P, L, U] PLU(A)[n,~] size(A);P eye(n);L zeros(n);U A;for k 1:n-1[~, maxindex] max(abs(U(k:n,k)));maxindex maxindex k - 1;U([k,maxindex],:) U([maxindex,k],:);L([k,maxindex],1:k-1) L([maxindex,k],1:k-1);P([k,maxindex],:) P([maxindex,k],:);for i k1:nfactor U(i,k) / U(k,k);L(i,k) factor;U(i,k:n) U(i,k:n) - factor * U(k,k:n);endendL L eye(n);
end% 使用例子
A [2 -2 -1; 4 1 -2; -2 1 -1];
[P, L, U] PLU(A);
disp(P);
disp(L);
disp(U);四、算法原理
1. 给出高斯消去法、LU 分解、PALU 分解的算法原理 高斯消去法 高斯消去法是一种用于解线性方程组的算法它的目标是将给定的系数矩阵转化为上三角矩阵或更进一步转化为对角矩阵这样可以直接使用回代法求解未知数。 步骤 选取主元通常是当前列下的最大绝对值元素。使用主元所在的行减去其他行从而消去该列下主元以下的所有元素。对下一个列重复以上步骤直到整个矩阵成为上三角形态。使用回代法求解未知数。 LU 分解 LU分解是将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的过程。这样原方程组Axb变为LUxb先解Lyb得到y再解Uxy得到x。 步骤 从第一行开始将A的当前行元素存储在U的相应位置将除对角线元素外的当前列元素存储在L的相应位置。使用L的当前列元素与U的当前行元素更新A的剩余部分。对于下一个列重复上述步骤。 PALU 分解 有时直接的LU分解不可能或者数值上不稳定这时可以通过行交换获得稳定性。PALU分解将A分解为一个置换矩阵P、一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U。 步骤 选择一个主元并进行必要的行交换。按照LU分解的方法更新L和U的元素。对下一个列重复以上步骤。
2. 分别给出高斯消去法、LU 分解消去和回代过程的耗费的计算量。 高斯消去法 消去过程的计算量大约为(2/3)n3而回代过程为n2。所以总的计算量大约是O(n^3)。 LU 分解 LU分解的计算量和高斯消去法类似主要来自于消去过程大约为(2/3)n3。回代过程是O(n2)所以总的计算量仍然是O(n^3)。 PALU 分解 PALU分解的计算量和LU分解相似因为增加的主要是行交换操作这不会显著增加计算量。所以总的计算量仍然是O(n^3)。
五、测试数据及结果 给出算法输出的方程组的解。 给出算法输出的方程组的解及L 和U。 给出算法输出的方程组的解及P、L 和U。
六、总结与思考 知识点的理解 通过本次MATLAB实验我深化了对线性代数中几个关键算法的理解高斯消去法、LU分解和PALU分解。这些算法是解线性方程组的基石并且在各种应用领域中都有广泛的使用。 代码实现的技巧 使用MATLAB进行矩阵操作相对简单。例如我们可以轻松地进行矩阵乘法、提取子矩阵和矩阵分解。通过封装代码为函数可以使整体代码结构更清晰、模块化并增强代码的可读性和重用性。适当的注释和文档对于理解和后期修改代码非常重要。
思考 算法的应用 虽然这三种算法在解决线性方程组方面很有用但它们在处理大型矩阵或具有特定结构的矩阵时可能并不是最优的。例如对于稀疏矩阵或对称正定矩阵可能存在更高效的算法。考虑不同的问题背景和矩阵特点来选择合适的算法是很重要的。 数值稳定性 实验中我们简单地实现了上述算法但在实际应用中数值稳定性是一个需要考虑的重要问题。特别是在高斯消去法中如果不适当地选择主元可能会导致数值不稳定。这就是为什么PALU分解带有行交换在某些情况下更受欢迎。 优化与进一步学习 MATLAB提供了一系列的内置函数和工具箱例如lu函数可以直接进行LU分解。通过比较我们自己的实现和MATLAB的内置函数我们可以进一步了解性能和数值稳定性的问题并从中学习。
综上本次MATLAB实验不仅加深了我计算方法的理解而且让我认识到在实际应用中考虑算法的数值稳定性和选择最适合的算法的重要性。
