作者：Xiou

1.傅里叶变换理论概述

图像处理一般分为空间域处理和频率域处理。空间域处理是直接对图像内的像素进行处理。空间域处理主要划分为灰度变换和空间滤波两种形式。灰度变换是对图像内的单个像素进行处理，比如调节对比度和处理阈值等。空间滤波涉及图像质量的改变，例如图像平滑处理。空间域处理的计算简单方便，运算速度更快。

频率域处理是先将图像变换到频率域，然后在频率域对图像进行处理，最后再通过反变换将图像从频率域变换到空间域。傅里叶变换是应用最广泛的一种频域变换，它能够将图像从空间域变换到频率域，而逆傅里叶变换能够将频率域信息变换到空间域内。傅里叶变换在图像处理领域内有着非常重要的作用。

在图像处理过程中，傅里叶变换就是将图像分解为正弦分量和余弦分量两部分，即将图像从空间域转换到频率域（以下简称频域）。数字图像经过傅里叶变换后，得到的频域值是复数。因此，显示傅里叶变换的结果需要使用实数图像（real image）加虚数图像（complex image），或者幅度图像（magnitude image）加相位图像（phase image）的形式。

因为幅度图像包含了原图像中我们所需要的大部分信息，所以在图像处理过程中，通常仅使用幅度图像。当然，如果希望先在频域内对图像进行处理，再通过逆傅里叶变换得到修改后的空域图像，就必须同时保留幅度图像和相位图像。对图像进行傅里叶变换后，我们会得到图像中的低频和高频信息。

低频信息对应图像内变化缓慢的灰度分量。高频信息对应图像内变化越来越快的灰度分量，是由灰度的尖锐过渡造成的。例如，在一幅大草原的图像中有一头狮子，低频信息就对应着广袤的颜色趋于一致的草原等细节信息，而高频信息则对应着狮子的轮廓等各种边缘及噪声信息。

傅里叶变换的目的，就是为了将图像从空域转换到频域，并在频域内实现对图像内特定对象的处理，然后再对经过处理的频域图像进行逆傅里叶变换得到空域图像。傅里叶变换在图像处理领域发挥着非常关键的作用，可以实现图像增强、图像去噪、边缘检测、特征提取、图像压缩和加密等。

高频 vs 低频
高频 vs 低频:

高频: 变换剧烈的灰度分量, 例如边界。
低频: 变换缓慢的灰度分量, 例如一片大海。

滤波:
低通滤波器: 只保留低频, 会使得图像模糊。
高通滤波器: 只保留高频, 会使得图像细节增强。

傅里叶变化 (Fourier Transform) 是一种分析信号的方法. 傅里叶变化可分析信号的成分, 也可以用这些成分合成信号。

2.Numpy实现傅里叶变换

2.1 傅里叶变换

Numpy模块提供了傅里叶变换功能，Numpy模块中的fft2()函数可以实现图像的傅里叶变换。本节介绍如何用Numpy模块实现图像的傅里叶变换，以及在频域内过滤图像的低频信息，保留高频信息，实现高通滤波。

Numpy提供的实现傅里叶变换的函数是numpy.fft.fft2()，它的语法格式是：

        返回值 = numpy.fft.fft2(原始图像)

这里需要注意的是，参数“原始图像”的类型是灰度图像，函数的返回值是一个复数数组（complex ndarray）。

经过该函数的处理，就能得到图像的频谱信息。此时，图像频谱中的零频率分量位于频谱图像（频域图像）[插图]的左上角，为了便于观察，通常会使用numpy.fft.fftshift()函数将零频率成分移动到频域图像的中心位置。如图所示

函数numpy.fft.fftshift()的语法格式是：

        返回值=numpy.fft.fftshift(原始频谱)

使用该函数处理后，图像频谱中的零频率分量会被移到频域图像的中心位置，对于观察傅里叶变换后频谱中的零频率部分非常有效。对图像进行傅里叶变换后，得到的是一个复数数组。为了显示为图像，需要将它们的值调整到[0,255]的灰度空间内，使用的公式为：

        像素新值=20*np.log(np.abs(频谱值))

式中np是“numpy”的缩写，来源于“import numpy as np”，后面不再对此进行说明。

代码实例：用Numpy实现傅里叶变换，观察得到的频谱图像。

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltimg = cv2.imread('girl1.jpg', 0)
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)
magnitude_spectrum = 20 * np.log(np.abs(fshift))
plt.subplot(121)
plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.title('original')
plt.axis('off')
plt.subplot(122)
plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray')
plt.title('result')
plt.axis('off')
plt.show()

输出结果：

2.2 傅里叶逆变换

需要注意的是，如果在傅里叶变换过程中使用了numpy.fft.fftshift()函数移动零频率分量，那么在逆傅里叶变换过程中，需要先使用numpy.fft.ifftshift()函数将零频率分量移到原来的位置，再进行逆傅里叶变换，该过程如图

函数numpy.fft.ifftshift()是numpy.fft.fftshift()的逆函数，其语法格式为：

        调整后的频谱 = numpy.fft.ifftshift(原始频谱)

numpy.fft.ifft2()函数可以实现逆傅里叶变换，返回空域复数数组。它是numpy.fft.fft2()的逆函数，该函数的语法格式为：

        返回值=numpy.fft.ifft2(频域数据)

函数numpy.fft.ifft2()的返回值仍旧是一个复数数组（complex ndarray）。逆傅里叶变换得到的空域信息是一个复数数组，需要将该信息调整至[0, 255]灰度空间内，使用的公式为：

        iimg = np.abs(逆傅里叶变换结果)

代码实例：在Numpy内实现傅里叶变换、逆傅里叶变换，观察逆傅里叶变换的结果图像。

        import cv2import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimg = cv2.imread('girl1.jpg',0)f = np.fft.fft2(img)fshift = np.fft.fftshift(f)ishift = np.fft.ifftshift(fshift)iimg = np.fft.ifft2(ishift)#print(iimg)iimg = np.abs(iimg)#print(iimg)plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray')plt.title('original'), plt.axis('off')plt.subplot(122), plt.imshow(iimg, cmap = 'gray')plt.title('iimg'), plt.axis('off')plt.show()

输出结果：

2.3 高通滤波

在Numpy内对图像进行傅里叶变换，得到其频域图像。然后，在频域内将低频分量的值处理为0，实现高通滤波。最后，对图像进行逆傅里叶变换，得到恢复的原始图像。观察傅里叶变换前后图像的差异。

代码实例：

        import cv2import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimg = cv2.imread('image\\boat.bmp',0)f = np.fft.fft2(img)fshift = np.fft.fftshift(f)rows, cols = img.shapecrow, ccol = int(rows/2) , int(cols/2)fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0ishift = np.fft.ifftshift(fshift)iimg = np.fft.ifft2(ishift)iimg = np.abs(iimg)plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray')plt.title('original'), plt.axis('off')plt.subplot(122), plt.imshow(iimg, cmap = 'gray')plt.title('iimg'), plt.axis('off')plt.show()

输出结果：

3.OpenCV实现傅里叶变换

OpenCV提供了函数cv2.dft()和cv2.idft()来实现傅里叶变换和逆傅里叶变换，下面分别展开介绍。

3.1 实现傅里叶变换

函数cv2.dft()的语法格式为：

返回结果=cv2.dft(原始图像，转换标识)

代码实例：用OpenCV函数对图像进行傅里叶变换，并展示其频谱信息。

        import numpy as npimport cv2import matplotlib.pyplot as pltimg = cv2.imread('girl1.jpg',0)dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)dftShift = np.fft.fftshift(dft)result = 20*np.log(cv2.magnitude(dftShift[:, :,0], dftShift[:, :,1]))plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray')plt.title('original'), plt.axis('off')plt.subplot(122), plt.imshow(result, cmap = 'gray')plt.title('result'), plt.axis('off')plt.show()

输出结果：

3.2 实现傅里叶逆变换

在OpenCV中，使用函数cv2.idft()实现逆傅里叶变换，该函数是傅里叶变换函数cv2.dft()的逆函数。其语法格式为：

        返回结果=cv2.idft(原始数据)

对图像进行傅里叶变换后，通常会将零频率分量移至频谱图像的中心位置。如果使用函数numpy.fft.fftshift()移动了零频率分量，那么在进行逆傅里叶变换前，要使用函数numpy.fft.ifftshift()将零频率分量恢复到原来位置。

代码实例：用OpenCV函数对图像进行傅里叶变换、逆傅里叶变换，并展示原始图像及经过逆傅里叶变换后得到的图像。

        import numpy as npimport cv2import matplotlib.pyplot as pltimg = cv2.imread('girl1.jpg',0)dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)dftShift = np.fft.fftshift(dft)ishift = np.fft.ifftshift(dftShift)iImg = cv2.idft(ishift)iImg= cv2.magnitude(iImg[:, :,0], iImg[:, :,1])plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray')plt.title('original'), plt.axis('off')plt.subplot(122), plt.imshow(iImg, cmap = 'gray')plt.title('inverse'), plt.axis('off')plt.show()

输出结果：

3.3 低通滤波

前面讲过，在一幅图像内，低频信号对应图像内变化缓慢的灰度分量。例如，在一幅大草原的图像中，低频信号对应着颜色趋于一致的广袤草原。低通滤波器让高频信号衰减而让低频信号通过，图像进行低通滤波后会变模糊。

代码实例：使用函数cv2.dft()对图像进行傅里叶变换，得到其频谱图像。然后，在频域内将其高频分量的值处理为0，实现低通滤波。最后，对图像进行逆傅里叶变换，得到恢复的原始图像。观察傅里叶变换前后图像的差异。

        import numpy as npimport cv2import matplotlib.pyplot as pltimg = cv2.imread('girl1.jpg',0)dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)dftShift = np.fft.fftshift(dft)rows, cols = img.shapecrow, ccol = int(rows/2) , int(cols/2)mask = np.zeros((rows, cols,2), np.uint8)#两个通道，与频域图像匹配mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1fShift = dftShift*maskishift = np.fft.ifftshift(fShift)iImg = cv2.idft(ishift)iImg= cv2.magnitude(iImg[:, :,0], iImg[:, :,1])plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray')plt.title('original'), plt.axis('off')plt.subplot(122), plt.imshow(iImg, cmap = 'gray')plt.title('inverse'), plt.axis('off')plt.show()

输出结果：

运行上述代码，得到如图所示的结果，左图为原始图像，右图为变换后的图像。可以看到，经过低通滤波后，图像的边缘信息被削弱了。