做网站销售怎么做,wordpress小工具使用,翔安区建设网站,怎么用织梦搭建网站这篇文章重点在于结合GPU Gems一书中有关Gerstner Waves 的数学公式#xff0c;在虚幻引擎中复现正确的Gerstner Waves和正确的法线
文中内容整理自书中#xff0c;并附带我的理解#xff0c;与在虚幻引擎中的实现#xff0c;可以参考原文看这篇文章#xff0c;原文网上很…这篇文章重点在于结合GPU Gems一书中有关Gerstner Waves 的数学公式在虚幻引擎中复现正确的Gerstner Waves和正确的法线
文中内容整理自书中并附带我的理解与在虚幻引擎中的实现可以参考原文看这篇文章原文网上很多我这里就不转载了 内容看上去有些乱 与虚幻无关的内容以普通文本的形式体现需要强调的、与虚幻有关的我将紧挨着内容以引用块的形式附上就像这段话 这是因为我希望读者能随着我一起看看这本书书讲到哪咱们做到哪 书中还介绍了几种波我假设你们做了课前预习本文直接开始G波 1.2.1选择波形
我们需要一组参数来定义每个波形。这些参数包括
Wavelength 波长 L L L 世界空间中波峰到波峰之间的距离。波长 L L L 与角频率 w w w 之间的关系为 w 2 π L w \frac{2\pi}{L} wL2π。 这里将会出现第一个坑如果你看的是英伟达的来源他们在公式中弄丢了这个π这篇文章中的公式将使用原书公式 Amplitude 振幅 A A A 从水平面到波峰的高度。 Speed 速度 S S S 波峰每秒前进的距离。 将速度表示为相位常数 φ \varphi φ 更为方便。 φ S × 2 π L \varphi S \times\frac{2\pi}{L} φS×L2π Direction 方向 D D D 垂直于波阵面的水平向量波峰沿着波阵面运动。
为了在场景的动态中提供变化我们将在一定的约束条件下随机生成这些波浪参数。随着时间的推移我们将持续地将一个波浪渐隐然后再以一组不同的参数将其渐显。 事实证明这些参数是相互依赖的。必须仔细的为每个波浪生成一整套参数这些参数需要以一种令人信服的方式组合在一起。 新建一个GerstnerWaves函数我们先把上方出现的变量在input预留: 以防有疑问最后一个Node是“重路由” 它是用来避免蓝图变意大利面的东西无功能上的意义 1.2.2 法线和切线
因为表面是显式函数所以我们可以直接计算任何点的表面方向而不需要依赖有限差分技术。 副法线向量 B B B 和切线向量 T T T 是分别 x x x 和 y y y 方向的偏导数。对于2D水平面中的任何点 ( x x x , y y y )表面上的三维位置 P P P 是
Equation 6a 公式6a N ( x , y ) B ( x , y ) × T ( x , y ) \mathbf{N}(x,y)\mathbf{B}(x,y)\times\mathbf{T}(x,y) N(x,y)B(x,y)×T(x,y) 这个公式体现N与B、T的关系。但我们先跳过这个最后再来处理法线这将规避经典的法线混合问题 格斯特纳波GerstnerWaves
为了有效的模拟我们需要控制波浪的陡峭程度。如前所述正弦波呈现出圆润的外观——这可能正是我们想要的平静、田园诗般的池塘效果。但对于粗犷的海面我们需要形成更尖锐的波峰和更宽阔的波谷。我们可以使用公式8a和8b来实现所需的形状但我们选择了相关的格斯特纳波。 GerstnerWaves早在有计算机图形学之前就被开发出来用于在物理基础上模拟海水。因此GerstnerWaves提供了一些表面的微妙运动这些变化不明显但是非常可信。详细描述参见Tessendorf 2001。 我们选择GerstnerWaves因为它们有一个常被忽视的特性将这正是我们希望顶点集中的地方如图1-5所示。 图1-5 GerstnerWaves 这是GerstnerWaves函数
Equation 9 公式9 P ( x , y , t ) ( x ∑ ( Q i A i × D i . x × cos ( w i D i ⋅ ( x , y ) φ i t ) ) , y ∑ ( Q i A i × D i . y × cos ( w i D i ⋅ ( x , y ) φ i t ) ) , ∑ ( A i sin ( w i D i ⋅ ( x , y ) φ i t ) ) ) \mathbf{P}\left(x, y, t\right) \left(\begin{array}{l} \begin{alignedat}{3} x\sum \left(Q_{i}A_{i} \times \mathbf{D}_{i}.x \times \cos\left(w_{i}\mathbf{D}_{i} \cdot (x, y) \varphi_{i}t\right)\right),\\ y \sum \left(Q_{i}A_{i} \times \mathbf{D}_{i}.y \times \cos\left(w_{i}\mathbf{D}_{i} \cdot (x, y) \varphi_{i}t\right)\right),\\ \sum \left(A_{i} \sin\left(w_{i}\mathbf{D}_{i} \cdot (x, y) \varphi_{i}t\right)\right) \end{alignedat} \end{array}\right) P(x,y,t) xy∑(QiAi×Di.x×cos(wiDi⋅(x,y)φit)),∑(QiAi×Di.y×cos(wiDi⋅(x,y)φit)),∑(Aisin(wiDi⋅(x,y)φit)) ∑为求和∑( )也就是所有波加在一起然后再在xy通道分别加x和y。 这里我们想要先实现一个波也就是∑( )的内容那么公式可以写为 Px Q×A×Dx×cos(w×D·(x,y) φ×t);
Py Q×A×Dy×cos(w×D·(x,y) φ×t);
Pz A ×sin(w×D·(x,y) φ×t);能看到我们想实现这个公式还需要两个变量 x y xy xy 和 t t t他们分别是 公式中的 Q i Q_i Qi 是一个控制波浪陡峭程度的参数。 对于单个波浪 i i i Q i 0 Q_i0 Qi0 产生常见的滚动正弦波而 Q i 1 w i A i Q_i \frac{1}{w_i A_i} QiwiAi1 产生尖锐的波峰。应避免使用较大的 Q i Q_i Qi 值因为它们会在波峰上方形成环\卷。 实际上我们可以将 Q Q Q 作为“陡峭程度”参数留给制作艺术家来指定允许范围是 0 0 0 到 1 1 1并使用 Q i Q w i A i × numWaves Q_i \frac{Q}{w_i A_i \times \text{numWaves}} QiwiAi×numWavesQ 来变化从完全平滑的波浪到我们能产生的最尖锐的波浪。 Q的计算为 其中 n u m W a v e s numWaves numWaves 为波的总数例如水面由3个GerstnerWaves组合这里就是3 Steepness变量就是文中说的陡峭程度参数 可以看到公式里的( w × D ⋅ ( x , y ) φ × t w×D·(x,y) φ×t w×D⋅(x,y)φ×t )是重复的,我们先把他的SinCos算出来 (这不会影响着色器复杂度只会让我的截图好看避免意大利面) 注意这里的 s i n sin sin 和 c o s cos cos 的周期为 2 p i 2pi 2pi 现在我们可以计算公式了 这就是顶点位移的结果接下来我们计算法线 值得注意的是公式3和公式9之间唯一的区别是顶点的横向移动。他们的高度是相同的。这意味着我们不再有一个严格的高度函数。即 P ( x , y , t ) . x ≠ x \mathbf{P}(x,y,t).x \neq x P(x,y,t).xx 。然而该函数仍然容易求导并且有一些项可以方便的消去。
其中: W A w i × A i , WAw_{i}\times A_{i}, WAwi×Ai, S ( ) sin ( w i × D i ⋅ P φ i t ) S()\sin\left(w_{i}\times\mathbf{D}_{i}\cdot\mathbf{P}\varphi_{i}t\right) S()sin(wi×Di⋅Pφit) C ( ) cos ( w i × D i ⋅ P φ i t ) C()\cos\bigl(w_{i}\times\mathbf{D}_{i}\cdot\mathbf{P}\varphi_{i}t\bigr) C()cos(wi×Di⋅Pφit) 又一个万人坑这里的 P P P 实际上指的是 ( x x x y y y ) S ( ) S() S() 和 C ( ) C() C() 我在蓝图里写成了 S i n ( ) Sin() Sin() 和 C o s ( ) Cos() Cos() 求导后得到切线空间的基础向量是
Equation 10 公式10 B ( 1 − ∑ ( Q i × D i . x 2 × W A × S ( ) ) , − ∑ ( Q i × D i . x × D i . y × W A × S ( ) ) , ∑ ( D i . x × W A × C ( ) ) ) \mathbf{B} \begin{pmatrix} \begin{alignedat}{3} 1-\sum\left(Q_i \times \mathbf{D}_i.x^2 \times WA \times S()\right),\\ -\sum\left(Q_i \times \mathbf{D}_i.x \times \mathbf{D}_i.y \times WA \times S()\right),\\ \sum\left(\mathbf{D}_i.x \times WA \times C()\right) \end{alignedat} \end{pmatrix} B 1−−∑(Qi×Di.x2×WA×S()),∑(Qi×Di.x×Di.y×WA×S()),∑(Di.x×WA×C()) Binormal计算可以写公式为(注意这里仍然先实现一个波因此计算公式的∑的内容) Bx Q×D.x^2 ×WA×sin();
By Q×D.x ×D.y×WA×sin();
Bz Dx ×WA×cos();Equation 11 公式11 T ( − ∑ ( Q i × D i . x × D i . y × W A × S ( ) ) , 1 − ∑ ( Q i × D i . y 2 × W A × S ( ) ) , ∑ ( D i . y × W A × C ( ) ) ) \mathbf{T} \begin{pmatrix} \begin{alignedat}{3} -\sum\bigl(Q_{i}\times\mathbf{D}_{i}.x\times\mathbf{D}_{i}.y\times WA\times S()\bigr),\\ 1-\sum\bigl(Q_{i}\times\mathbf{D}_{i}.y^{2}\times WA\times S()\bigr),\\ \sum\bigl(\mathbf{D}_{i}.y\times WA\times C()\bigr) \end{alignedat} \end{pmatrix} T 1−−∑(Qi×Di.x×Di.y×WA×S()),∑(Qi×Di.y2×WA×S()),∑(Di.y×WA×C()) Tangent: Tx Q×D.x×D.y×WA×sin();
Ty Q×D.y^2 ×WA×sin();
Tz Dy ×WA×cos();Equation 12 公式12 N ( − ∑ ( D i . x × W A × C ( ) ) , − ∑ ( D i . y × W A × C ( ) ) , 1 − ∑ ( Q i × W A × S ( ) ) ) \mathbf{N}\begin{pmatrix} \begin{aligned} {}- \sum\bigl(\mathbf{D}_i.x\times WA\times C()\bigr),\\ {}- \sum\bigl(\mathbf{D}_i.y\times WA\times C()\bigr),\\ 1 {}- \sum\bigl(Q_i\times WA\times S()\bigr) \end{aligned} \end{pmatrix} N 1−∑(Di.x×WA×C()),−∑(Di.y×WA×C()),−∑(Qi×WA×S()) 这是求法线的公式但我们做多个波时不应直接使用它。当试图直接混合多个法线时无论你选择何种法线混合算法来近似,其结果总是错误的。 我们应该使用混合多个波后使用累加的BinormalTangent计算数学意义上正确的法线 这里我们先做两个波以演示如何混合 我们新建一个∑ 函数来处理波的混合 这里先把所有波的P,B,T相加,也就是公式中 ∑ ∑ ∑ 的意义 然后在函数中计算 ∑ ∑ ∑ 之外的我们刚才没有处理的内容 我们回过头再看P、B、T三个公式是如何处理 ∑ ∑ ∑ 的 Position 原公式中P需要为∑P的xy通道分别增加xy 但由于虚幻中顶点空间为0所以并不需要做这个偏移直接使用相加后的Position Binormal newB.x 1-∑B.x;
newB.y -∑B.y;
newB.z ∑Bz;Tangent newT.x -∑T.x;
newT.y 1-∑T.y;
newT.z ∑T.z;法线 N C r o s s ( B , T ) NCross(B,T) NCross(B,T),结合上面的计算函数内容为 我们先做一个使用DDXDDY实现的顶点法线 这种做法可以计算出顶点准确的法线但它受限于模型顶点精度不能直接用作法线。但是它一个很好的参考让我们知道正确的法线看上去应该是什么样子 左侧为ddxddy计算的法线右侧为我们的计算结果可以看到其结果相一致我们得到了顶点准确的法线 当我们完成了这些能注意到Gerstner Waves函数有一些参数是可以通过物理计算求出. 接下来演示使用真实的物理常数对算法做一些优化去掉一些手工的变量 待续 这些公式不像4b、5b和6b方程那样简洁明了但它们计算起来非常高效。
在形成波峰环的背景下仔细观察法线的 z z z 分量证明了这一点非常有趣。虽然 Tessendorf (2001) 从流体动力学的纳维-斯托克斯1描述和“李变换技术2”中推导出他的“切碎效应3”最终结果是在频率域中表达的格斯特纳波的一个变体。 在频率域中可以避免并检测到波顶的环形但在空间域中我们可以清楚地看到正在发生的事情。 当 Q i × w i × A i Q_i \times w_i \times A_i Qi×wi×Ai 的和大于 1 1 1 时我们法线的 z z z 分量在峰值处可能变为负值因为我们的波浪会在自身上方形成环。 只要我们选择的 Q i Q_i Qi 使得这个和始终小于或等于 1 1 1我们将形成尖锐的峰值但永远不会形成环。
1.2.4参数解释
波长和速度 Wavelength Speed
我们首先选择合适的波长。与其追求现实世界的分布不如最大化我们能承担的少数波浪的效果。 相似长度的波浪的叠加突出了水面的动态性。 因此我们选择一个中值波长并在该长度的一半到两倍之间生成随机波长。中值波长在创作过程中被编写它可以随时间变化。 例如在暴风雨期间波浪可能比晴朗平静时显著更大。 注意我们不能改变正在活动的波的波长。即便是逐渐改变波浪的波峰也会向原点扩展或收缩这看起来非常不自然。 因此我们改变当前的平均波长随着时间的推移当波浪淡出以后它们将基于新的长度重新生成。方向也是如此。
根据波长我们可以轻松计算它在表面上的传播速度。Tessendorf 2001中给出忽略高次项的传播关系
Equation 13 公式13 w g × 2 π L w\sqrt{g\times{\frac{2\pi}{L}}} wg×L2π 其中 w w w 是角频率 g g g 是标准下的例如980cm/s重力常数 L L L 是波峰到波峰的长度。
振幅 Amplitude
如何处理振幅是一个见仁见智的问题。 虽然振幅可以看做波长和当前天气条件的函数来求得振幅导数但我们还是要使用在编写时指定的常数或脚本化的比率。 更准确地说与中值波长一起艺术家指定了一个中值振幅。 对于任何大小的波浪其振幅与波长的比率将匹配中值振幅与中值波长的比率。
方向 Direction
波浪行进的方向与其他参数完全独立因此我们可以根据自己选择的任何标准为每个波浪选择一个方向。 如前所述我们从大致是风向的恒定向量开始。然后我们从风向的恒定角度内随机选择方向。 这个恒定角度在内容创建时被指定或者可能被脚本化。 施工中待续
参考来自Gerstner Waves圣经—— Mark Finch - Cyan Worlds GPU Gems Navier-Stokes ↩︎ Lie Transform Technique ↩︎ choppiness ↩︎
