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顺序查找#xff1a;最简单的查找算法#xff0c;适用于无序或数据量小的情况#xff0c;逐个元素比较查找目标值。二分查找#xff1a;要求数据有序#xff0c;通过不断比较中间元素与目标值#xff0c;将查找范围缩小一半#xff0c;效率…常用的查找算法
顺序查找最简单的查找算法适用于无序或数据量小的情况逐个元素比较查找目标值。二分查找要求数据有序通过不断比较中间元素与目标值将查找范围缩小一半效率较高。插值查找基于二分查找的改进基于线性插值思想根据目标值与数组最值关系确定查找位置数据均匀时效率优于二分查找。斐波那契查找基于二分查找的改进利用斐波那契数列划分有序数组查找区间 在特定硬件及外存数据查找有优势。哈希查找利用哈希函数将键值映射到特定存储位置能在较短时间内实现查找常用于数据量较大且对查找速度要求高的场景。二叉排序树查找基于二叉排序树数据结构左子树节点值小于根节点值右子树节点值大于根节点值通过比较和递归进行查找。平衡二叉树查找如AVL树、红黑树等在二叉排序树基础上保持平衡提高查找效率适用于数据动态变化频繁的场景。红黑树查找红黑树是一种自平衡的二叉搜索树它在每个节点上增加了一个存储位来表示节点的颜色可以是红色或黑色。经常用于编程语言的标准库、操作系统的内存管理、数据库索引。B树和B树查找常用于文件系统和数据库系统的索引结构能高效处理大量数据的查找和范围查询。分块查找将数据分块块内无序但块间有序先确定块再在块内查找性能介于顺序查找和二分查找之间。斐波那契查找和插值查找在特定场景下有其独特的优势但整体而言它们不如顺序查找、二分查找等方法常用
顺序查找
基本概念 顺序查找也称为线性查找是在一个数据集合中从第一个元素开始逐个比较元素直到找到目标元素或遍历完整个集合为止的查找方法。它适用于无序的线性表也可用于有序的线性表。
算法实现
一般实现步骤 从数据集合的第一个元素开始。将当前元素与要查找的目标元素进行比较。如果当前元素等于目标元素则查找成功返回当前元素的位置。如果当前元素不等于目标元素则继续比较下一个元素。重复上述步骤直到找到目标元素或者遍历完整个数据集合。如果遍历完整个集合仍未找到目标元素则查找失败返回特定的标识如-1。 Python代码示例
def sequential_search(lst, target):for i, element in enumerate(lst):if element target:return ireturn -1# 测试
lst [10, 20, 30, 40, 50]
target 30
print(sequential_search(lst, target)) 时间复杂度
最好情况目标元素在数据集合的第一个位置只需比较1次时间复杂度为 O ( 1 ) O(1) O(1)。最坏情况目标元素在数据集合的最后一个位置或者数据集合中根本不存在目标元素需要比较 n n n次时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)其中 n n n是数据集合中元素的个数。平均情况假设目标元素在数据集合中的任何位置出现的概率相等平均需要比较 n 1 2 \frac{n 1}{2} 2n1次时间复杂度也为 O ( n ) O(n) O(n)。
优缺点
优点 算法简单易于理解和实现。对数据集合的存储结构没有特殊要求无论是顺序存储还是链式存储都可以使用。对于规模较小的数据集合顺序查找的效率不会有明显的问题并且在某些特定情况下如数据集合动态变化频繁无法进行其他更高效的预处理时顺序查找是一种可行的选择。 缺点 对于规模较大的数据集合查找效率较低因为平均需要比较大量的元素。
适用场景
数据量较小当数据集合中的元素数量较少时顺序查找的简单性和直接性使其成为一种合适的选择因为在这种情况下查找操作的成本相对较低不会对性能产生太大影响。数据无序且动态变化如果数据是无序的并且经常需要进行插入和删除操作导致数据难以进行有效的组织和索引那么顺序查找可以在不进行额外维护操作的情况下进行查找。一次性查找对于只进行偶尔的、一次性的查找操作而不考虑对整体查找性能进行优化的情况顺序查找可以快速实现查找功能而无需为了提高查找效率而引入复杂的算法和数据结构。
二分查找
基本原理 二分查找也称为折半查找其基本思想是每次将待查找区间缩小为原来的一半通过不断比较中间元素与目标元素的大小关系来确定下一步的查找区间直到找到目标元素或者确定目标元素不存在为止。
算法实现
一般实现步骤 首先确定待查找区间的左右边界左边界left初始化为0右边界right初始化为数组长度减1。进入循环只要left right就继续查找。在循环中计算中间位置mid通常使用mid left (right - left) // 2的方式计算以避免整数溢出。将中间位置的元素与目标元素进行比较。 如果中间元素等于目标元素则查找成功返回中间位置mid。如果中间元素大于目标元素说明目标元素在中间元素的左侧更新右边界right mid - 1。如果中间元素小于目标元素说明目标元素在中间元素的右侧更新左边界left mid 1。 如果循环结束后仍未找到目标元素则查找失败返回特定的标识如-1。
Python代码示例
def binary_search(lst, target):left, right 0, len(lst) - 1while left right:mid left (right - left) // 2if lst[mid] target:return midelif lst[mid] target:right mid - 1else:left mid 1return -1# 测试
lst [10, 20, 30, 40, 50]
target 30
print(binary_search(lst, target)) 时间复杂度
最好情况目标元素正好是中间元素只需比较1次时间复杂度为 O ( 1 ) O(1) O(1)。最坏情况需要不断地将区间缩小一半直到只剩下一个元素时间复杂度为 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n)其中 n n n是数组中元素的个数。平均情况平均时间复杂度也为 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n)。
优缺点
优点 查找速度快相比于顺序查找在大规模的有序数据中二分查找的效率要高得多。时间复杂度低对数级别的时间复杂度使得随着数据规模的增大查找时间的增长相对缓慢。 缺点 要求数据必须是有序的因此在数据插入或删除操作频繁的情况下维护数据的有序性可能会带来额外的开销。对数据的存储结构有一定要求通常需要使用数组这种支持随机访问的数据结构对于链表等不支持随机访问的数据结构二分查找的效率会大大降低。
适用场景
数据量较大且有序当处理大规模的有序数据集合时二分查找能够充分发挥其高效的优势快速定位目标元素。静态数据对于相对稳定、不经常进行插入和删除操作的数据二分查找是一种理想的查找算法因为不需要频繁地调整数据的顺序来维护有序性。需要频繁查找在需要多次进行查找操作的场景下二分查找的高效性能够显著提高整体的性能减少查找的总时间。
插值查找
基本概念 插值查找是对二分查找的一种改进算法用于在有序数组中查找特定元素。 二分查找每次都固定地取中间位置进行比较而插值查找会根据要查找的关键字 key 与数组中最大、最小元素的关系自适应地确定查找位置其核心是基于线性插值的思想假设数组元素均匀分布通过计算得出可能包含目标元素的位置。
算法实现
一般实现步骤 确定当前查找区间的起始位置 low 和结束位置 high。利用插值公式 p o s l o w ( k e y − a r r [ l o w ] ) × ( h i g h − l o w ) a r r [ h i g h ] − a r r [ l o w ] pos low \frac{(key - arr[low]) \times (high - low)}{arr[high] - arr[low]} poslowarr[high]−arr[low](key−arr[low])×(high−low) 计算可能的查找位置 pos。将 arr[pos] 与目标元素 key 进行比较 如果 arr[pos] 等于 key则查找成功返回 pos。如果 arr[pos] 小于 key说明目标元素可能在 pos 的右侧更新 low pos 1继续在新的区间内查找。如果 arr[pos] 大于 key说明目标元素可能在 pos 的左侧更新 high pos - 1继续在新的区间内查找。 重复步骤 2 和 3直到找到目标元素或者 low 大于 high表示查找失败返回特定标识如 -1。 Python 代码示例
def interpolation_search(arr, key):low 0high len(arr) - 1while low high and key arr[low] and key arr[high]:if low high:if arr[low] key:return lowreturn -1# 计算插值位置pos low ((key - arr[low]) * (high - low)) // (arr[high] - arr[low])if arr[pos] key:return poselif arr[pos] key:low pos 1else:high pos - 1return -1# 测试
arr [10, 12, 13, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 33, 35, 42, 47]
key 18
print(interpolation_search(arr, key))时间复杂度
最好情况目标元素通过一次插值计算就被找到时间复杂度为 O ( 1 ) O(1) O(1)。最坏情况数据分布极不均匀插值查找退化为顺序查找需要比较 n n n 次时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)其中 n n n 是数组中元素的个数。平均情况在数据均匀分布的情况下平均时间复杂度为 O ( log log n ) O(\log \log n) O(loglogn)相比二分查找的 O ( log n ) O(\log n) O(logn) 效率更高。
优缺点
优点 在数据均匀分布的有序数组中查找效率比二分查找更高能更快地定位到目标元素。基于数学原理进行位置估算查找过程具有一定的智能性不是简单的固定分割区间。 缺点 对数据分布要求较高如果数据分布不均匀插值查找的效率会大幅下降甚至退化为顺序查找。代码实现相对二分查找稍复杂需要理解和使用插值公式。
适用场景
数据均匀分布的有序数组当数组元素按照一定规律均匀排列时如电话号码簿、字典等插值查找可以充分发挥其优势快速定位目标元素。大规模有序数据查找对于大规模的有序数据集合且数据分布均匀使用插值查找能显著提高查找效率减少查找时间。
斐波那契查找
基本概念 斐波那契查找是一种在有序数组中进行查找的算法它利用斐波那契数列来划分查找区间。与二分查找类似都是用于有序数组的查找但斐波那契查找通过斐波那契数列的特性来确定分割点在某些场景下能减少数据的比较次数尤其适用于对数据访问成本较高的情况。
算法实现
一般实现步骤 生成斐波那契数列找到一个斐波那契数 F ( k ) F(k) F(k) 使得 F ( k ) − 1 F(k) - 1 F(k)−1 刚好大于或等于数组的长度 n n n。初始化两个变量 f i b 2 F ( k − 2 ) fib2 F(k - 2) fib2F(k−2) 和 f i b 1 F ( k − 1 ) fib1 F(k - 1) fib1F(k−1)并设置一个偏移量 o f f s e t − 1 offset -1 offset−1。当 F ( k ) 1 F(k) 1 F(k)1 时执行以下操作 计算当前比较位置 i min ( o f f s e t f i b 2 , n − 1 ) i \min(offset fib2, n - 1) imin(offsetfib2,n−1)。比较数组中第 i i i 个元素与目标元素 key 的大小 如果 a r r [ i ] k e y arr[i] key arr[i]key说明目标元素可能在 i i i 的右侧更新 F ( k ) F ( k − 1 ) F(k) F(k - 1) F(k)F(k−1) F ( k − 1 ) F ( k − 2 ) F(k - 1) F(k - 2) F(k−1)F(k−2) F ( k − 2 ) F ( k ) − F ( k − 1 ) F(k - 2) F(k) - F(k - 1) F(k−2)F(k)−F(k−1)同时更新 o f f s e t i offset i offseti。如果 a r r [ i ] k e y arr[i] key arr[i]key说明目标元素可能在 i i i 的左侧更新 F ( k ) F ( k − 2 ) F(k) F(k - 2) F(k)F(k−2) F ( k − 1 ) F ( k − 1 ) − F ( k − 2 ) F(k - 1) F(k - 1) - F(k - 2) F(k−1)F(k−1)−F(k−2) F ( k − 2 ) F ( k ) − F ( k − 1 ) F(k - 2) F(k) - F(k - 1) F(k−2)F(k)−F(k−1)。如果 a r r [ i ] k e y arr[i] key arr[i]key则查找成功返回 i i i。 若 F ( k ) 1 F(k) 1 F(k)1 且 a r r [ o f f s e t 1 ] k e y arr[offset 1] key arr[offset1]key则返回 o f f s e t 1 offset 1 offset1否则查找失败返回 -1。 Python 代码示例
def fibonacci_search(arr, key):# 生成斐波那契数列fib2 0 # F(k - 2)fib1 1 # F(k - 1)fib fib2 fib1 # F(k)n len(arr)while fib n:fib2 fib1fib1 fibfib fib2 fib1offset -1while fib 1:i min(offset fib2, n - 1)if arr[i] key:fib fib1fib1 fib2fib2 fib - fib1offset ielif arr[i] key:fib fib2fib1 fib1 - fib2fib2 fib - fib1else:return iif fib1 and arr[offset 1] key:return offset 1return -1# 测试
arr [10, 22, 35, 40, 45, 50, 80, 82, 85, 90, 100]
key 85
print(fibonacci_search(arr, key))时间复杂度
最好情况目标元素在第一次比较时就被找到时间复杂度为 O ( 1 ) O(1) O(1)。最坏情况需要遍历大部分元素才能找到目标元素或者确定目标元素不存在时间复杂度为 O ( log n ) O(\log n) O(logn)与二分查找相同。平均情况平均时间复杂度也为 O ( log n ) O(\log n) O(logn)但由于其只涉及加法和减法运算在某些硬件环境下可能比二分查找更具优势。
优缺点
优点 对硬件的适应性较好只涉及加法和减法运算不涉及除法运算在一些对除法运算开销敏感的环境中效率较高。在处理一些特殊的数据访问场景时如磁盘等外存设备上的数据查找其分割方式可以减少不必要的数据访问提高查找效率。 缺点 需要额外的时间来生成斐波那契数列。代码实现相对二分查找更复杂理解和维护成本较高。
适用场景
对除法运算开销敏感的硬件环境在一些硬件设备中除法运算的成本较高斐波那契查找只使用加法和减法运算能更好地适应这类硬件环境。外存数据查找当数据存储在磁盘等外存设备上时斐波那契查找的分割方式可以减少不必要的数据读取提高查找效率。
哈希查找
基本原理
哈希函数哈希查找的核心是哈希函数它是一个将数据元素的键值key映射为一个固定大小的整数通常称为哈希值或哈希码的函数用hash(key)表示。理想情况下哈希函数应该具有良好的均匀性即对于不同的键值能够均匀地分布在哈希表的各个位置上以减少冲突的发生。哈希表哈希表是用于存储数据元素的数据结构它的大小通常是固定的。通过哈希函数计算出的哈希值作为索引将数据元素存储在哈希表的相应位置上。当需要查找某个数据元素时再次使用哈希函数计算其键值的哈希值然后直接访问哈希表中对应的位置就可以快速找到该元素。
解决冲突的方法
开放定址法当有新的数据要插入到哈希表中发现目标位置已经被占用时就按照一定的规则寻找下一个空闲的位置来插入。常见的探测序列有线性探测、二次探测等。线性探测就是依次探测下一个位置即(hash(key)i) % m其中i 1,2,3,...m为哈希表的大小。二次探测则是按照(hash(key)i^2) % m的方式探测。链地址法将所有哈希值相同的数据元素存储在一个链表中。当插入一个新元素时计算其哈希值然后将其插入到对应的链表头部或尾部。查找时先计算哈希值找到对应的链表然后在链表中顺序查找目标元素。
算法实现 以下是使用链地址法实现哈希查找的Python代码示例
class HashTable:def __init__(self, size):self.size sizeself.table [[] for _ in range(size)]def hash_function(self, key):return key % self.sizedef insert(self, key, value):hash_value self.hash_function(key)self.table[hash_value].append((key, value))def search(self, key):hash_value self.hash_function(key)for k, v in self.table[hash_value]:if k key:return vreturn None# 测试
hash_table HashTable(10)
hash_table.insert(1, apple)
hash_table.insert(11, banana)
print(hash_table.search(11)) 时间复杂度
理想情况如果哈希函数设计得非常好所有的数据元素都均匀地分布在哈希表中那么每次查找只需要访问一次哈希表时间复杂度为 O ( 1 ) O(1) O(1)。最坏情况当所有的数据元素都映射到同一个哈希值时哈希表退化为一个链表此时查找的时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)其中n是数据元素的个数。平均情况在合理的哈希函数和适当的负载因子即哈希表中已存储元素的数量与哈希表大小的比值下哈希查找的平均时间复杂度为 O ( 1 ) O(1) O(1)或接近 O ( 1 ) O(1) O(1)。
优缺点
优点 查找速度快在理想情况下哈希查找能够在常数时间内完成查找操作这使得它在大规模数据处理中具有很高的效率。对数据无顺序要求与二分查找等算法不同哈希查找不需要数据是有序的数据可以以任意顺序插入到哈希表中。 缺点 哈希函数设计困难要设计一个完美的哈希函数是非常困难的需要考虑数据的分布特点等因素以避免冲突过多导致性能下降。空间开销较大为了减少冲突通常需要分配比实际数据量更大的哈希表空间这可能会造成一定的空间浪费。
适用场景
数据快速查找和插入在需要频繁进行查找和插入操作的场景中如数据库索引、缓存系统等哈希查找能够提供高效的性能。数据唯一性判断可以利用哈希查找来快速判断数据是否已经存在例如在查重系统中通过计算数据的哈希值并在哈希表中查找可以快速确定数据是否重复。海量数据处理在处理海量数据时哈希查找可以将数据分散到不同的位置便于进行分布式存储和处理。
树查找
二叉排序树
定义 二叉排序树Binary Search TreeBST也称为二叉查找树、二叉搜索树它是一种特殊的二叉树。对于树中的任意一个节点都满足以下性质
若该节点的左子树不为空则左子树上所有节点的值均小于该节点的值。若该节点的右子树不为空则右子树上所有节点的值均大于该节点的值。该节点的左子树和右子树也分别是二叉排序树。
示例 以下是一个简单的二叉排序树示例树中节点的值分别为 50、30、70、20、40、60、80 50/ \30 70/ \ / \20 40 60 80在这个二叉排序树中节点 50 的左子树30、20、40中的所有节点值都小于 50右子树70、60、80中的所有节点值都大于 50。并且节点 30 的左子树20节点值小于 30右子树40节点值大于 30以此类推。
插入操作 插入新节点时从根节点开始比较。如果新节点的值小于当前节点的值则在左子树中继续查找插入位置如果新节点的值大于当前节点的值则在右子树中继续查找插入位置直到找到一个空位置插入新节点。
例如要在上述二叉排序树中插入节点 35从根节点 50 开始35 小于 50进入左子树35 大于 30进入 30 的右子树此时 30 的右子树节点 40 存在35 小于 40进入 40 的左子树发现为空将 35 插入该位置。
删除操作 删除操作相对复杂需要分三种情况
要删除的节点是叶子节点直接删除该节点即可。要删除的节点只有一个子节点用该子节点替换要删除的节点。要删除的节点有两个子节点找到该节点右子树中的最小节点或左子树中的最大节点用这个最小节点的值替换要删除节点的值然后删除右子树中的最小节点。
二叉排序树搜索
搜索过程 在二叉排序树中搜索一个特定值的过程如下
从根节点开始将待搜索的值与根节点的值进行比较。如果待搜索的值等于根节点的值则搜索成功返回该节点。如果待搜索的值小于根节点的值由于二叉排序树的性质该值只可能在左子树中因此在左子树中继续进行搜索。如果待搜索的值大于根节点的值该值只可能在右子树中因此在右子树中继续进行搜索。重复上述步骤直到找到目标节点或者遇到空节点表示搜索失败。
代码实现Python
class TreeNode:def __init__(self, val0, leftNone, rightNone):self.val valself.left leftself.right rightdef searchBST(root, val):if root is None or root.val val:return rootif val root.val:return searchBST(root.left, val)return searchBST(root.right, val)# 构建示例二叉排序树
root TreeNode(50)
root.left TreeNode(30)
root.right TreeNode(70)
root.left.left TreeNode(20)
root.left.right TreeNode(40)
root.right.left TreeNode(60)
root.right.right TreeNode(80)# 搜索值为 60 的节点
result searchBST(root, 60)
if result:print(f找到了值为 {result.val} 的节点)
else:print(未找到该节点)复杂度分析
时间复杂度平均情况下二叉排序树的高度为 O ( l o g n ) O(log n) O(logn)其中 n n n 是树中节点的数量搜索操作的时间复杂度为 O ( l o g n ) O(log n) O(logn)。但在最坏情况下即二叉排序树退化为链表例如插入的节点值是有序的树的高度为 O ( n ) O(n) O(n)搜索操作的时间复杂度会变为 O ( n ) O(n) O(n)。空间复杂度主要取决于递归调用栈的深度平均情况下为 O ( l o g n ) O(log n) O(logn)最坏情况下为 O ( n ) O(n) O(n)。如果使用迭代方式实现搜索空间复杂度可以优化到 O ( 1 ) O(1) O(1)。
应用场景 二叉排序树适用于需要频繁进行插入、删除和搜索操作的场景并且数据集合的规模适中。例如在一些小型的数据库系统中用于快速查找特定记录在编程语言的符号表管理中用于存储和查找变量名及其相关信息等。
平衡二叉树
定义 平衡二叉树AVL树是一种自平衡的二叉搜索树。它满足二叉搜索树的基本性质对于树中的任意节点其左子树中所有节点的值都小于该节点的值右子树中所有节点的值都大于该节点的值。同时AVL树还额外要求每个节点的左右子树的高度差平衡因子的绝对值不超过 1。平衡因子定义为该节点的左子树高度减去右子树高度。
平衡的重要性 通过保持树的平衡AVL树能够保证在进行插入、删除和查找操作时的时间复杂度始终为 O ( l o g n ) O(log n) O(logn)其中 n n n 是树中节点的数量。如果不进行平衡操作二叉搜索树可能会退化为链表此时这些操作的时间复杂度会变为 O ( n ) O(n) O(n)。
平衡二叉树查找过程 平衡二叉树的查找过程与普通二叉搜索树的查找过程基本一致
从根节点开始将待查找的值 target 与当前节点的值进行比较。如果 target 等于当前节点的值则查找成功返回该节点。如果 target 小于当前节点的值则在当前节点的左子树中继续查找。如果 target 大于当前节点的值则在当前节点的右子树中继续查找。重复上述步骤直到找到目标节点或者遇到空节点表示查找失败。
示例代码Python 实现
# 定义 AVL 树的节点类
class TreeNode:def __init__(self, key):self.key keyself.left Noneself.right Noneself.height 1 # 节点的高度初始为 1# 定义 AVL 树类
class AVLTree:# 获取节点的高度def get_height(self, node):if not node:return 0return node.height# 获取节点的平衡因子def get_balance(self, node):if not node:return 0return self.get_height(node.left) - self.get_height(node.right)# 右旋操作def right_rotate(self, y):x y.leftT2 x.rightx.right yy.left T2y.height max(self.get_height(y.left), self.get_height(y.right)) 1x.height max(self.get_height(x.left), self.get_height(x.right)) 1return x# 左旋操作def left_rotate(self, x):y x.rightT2 y.lefty.left xx.right T2x.height max(self.get_height(x.left), self.get_height(x.right)) 1y.height max(self.get_height(y.left), self.get_height(y.right)) 1return y# 插入节点def insert(self, root, key):if not root:return TreeNode(key)elif key root.key:root.left self.insert(root.left, key)else:root.right self.insert(root.right, key)root.height 1 max(self.get_height(root.left), self.get_height(root.right))balance self.get_balance(root)# 左左情况if balance 1 and key root.left.key:return self.right_rotate(root)# 右右情况if balance -1 and key root.right.key:return self.left_rotate(root)# 左右情况if balance 1 and key root.left.key:root.left self.left_rotate(root.left)return self.right_rotate(root)# 右左情况if balance -1 and key root.right.key:root.right self.right_rotate(root.right)return self.left_rotate(root)return root# 查找节点def search(self, root, key):if root is None or root.key key:return rootif key root.key:return self.search(root.left, key)return self.search(root.right, key)# 测试代码
if __name__ __main__:avl_tree AVLTree()root Nonekeys [9, 5, 10, 0, 6, 11, -1, 1, 2]for key in keys:root avl_tree.insert(root, key)target 6result avl_tree.search(root, target)if result:print(f找到了节点: {result.key})else:print(f未找到节点: {target})
代码解释
TreeNode 类定义了 AVL 树的节点结构包含节点的值 key、左右子节点 left 和 right 以及节点的高度 height。AVLTree 类 get_height 方法用于获取节点的高度。get_balance 方法用于计算节点的平衡因子。right_rotate 和 left_rotate 方法分别实现了右旋和左旋操作用于调整树的平衡。insert 方法插入新节点并在插入后检查树的平衡情况必要时进行旋转操作以保持树的平衡。search 方法实现了查找功能通过递归的方式在树中查找目标节点。 测试部分创建一个 AVL 树插入一系列节点然后查找目标节点 6并输出查找结果。
通过这种方式我们可以在平衡二叉树中高效地进行查找操作。
复杂度分析
时间复杂度 平均情况在平衡二叉树AVL树中由于它始终保持着左右子树高度差不超过 1 的平衡特性树的高度 h h h 始终维持在 O ( log n ) O(\log n) O(logn) 级别其中 n n n 是树中节点的数量。而查找操作需要从根节点开始沿着一条路径向下搜索经过的节点数最多为树的高度。因此平均情况下平衡二叉树查找操作的时间复杂度为 O ( log n ) O(\log n) O(logn)。例如当树中有 1024 个节点时树的高度大约为 log 2 1024 10 \log_2{1024}10 log2102410查找操作最多只需比较 10 次。 最坏情况由于平衡二叉树严格保证了树的平衡性即使在最坏情况下树的高度依然是 O ( log n ) O(\log n) O(logn)所以查找操作的时间复杂度仍然是 O ( log n ) O(\log n) O(logn)。这与普通二叉搜索树不同普通二叉搜索树在最坏情况下退化为链表查找时间复杂度会达到 O ( n ) O(n) O(n)。
空间复杂度
平衡二叉树查找操作的空间复杂度主要取决于递归调用栈的深度。在递归查找过程中每次递归调用会在栈上分配一定的空间。由于查找路径的长度最长为树的高度而树的高度为 O ( log n ) O(\log n) O(logn)所以查找操作的空间复杂度为 O ( log n ) O(\log n) O(logn)。如果采用迭代方式实现查找空间复杂度可以优化到 O ( 1 ) O(1) O(1)因为只需要使用常数级的额外空间来记录当前节点的位置。
适合使用的场景 当数据集合需要频繁进行插入、删除和查找操作时平衡二叉树是一个不错的选择。例如在数据库的索引系统中数据会不断地被插入和删除同时也需要快速地查找特定的数据记录。平衡二叉树能够在保证插入和删除操作相对高效的同时确保查找操作的时间复杂度始终为 O ( log n ) O(\log n) O(logn)。 对于一些对查找速度要求极高的应用如搜索引擎的缓存系统、实时数据处理系统等平衡二叉树的高效查找性能能够满足这些场景的需求。以搜索引擎的缓存系统为例需要快速地查找缓存中是否存在某个网页的信息平衡二叉树可以在较短的时间内完成查找操作提高系统的响应速度。 如果只需要快速查找特定的数据而不需要数据始终保持严格的有序性平衡二叉树可以很好地满足需求。例如在一些游戏的物品管理系统中需要快速查找某个物品的属性信息平衡二叉树可以高效地实现这一功能而不需要像排序数组那样始终保持数据的严格有序。
红黑树
定义 红黑树是一种自平衡的二叉搜索树它在每个节点上增加了一个存储位来表示节点的颜色可以是红色或黑色。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个节点着色方式的限制红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出两倍因而是接近平衡的。红黑树必须满足以下五个性质
每个节点要么是红色要么是黑色。根节点是黑色。每个叶子节点NIL节点空节点是黑色。如果一个节点是红色的则它的两个子节点都是黑色的。对每个节点从该节点到其所有后代叶节点的简单路径上均包含相同数目的黑色节点。
示例 以下是一个简单的红黑树示例为方便表示这里用括号内的 R 表示红色节点B 表示黑色节点 (50B)/ \(30R) (70R)/ \ / \
(20B) (40B) (60B) (80B)在这个红黑树中根节点 50 是黑色红色节点 30 和 70 的子节点都是黑色并且从每个节点到其所有后代叶节点的简单路径上黑色节点的数量相同。
红黑树查找
查找过程 红黑树的查找过程与普通二叉搜索树的查找过程基本相同具体步骤如下
从根节点开始将待查找的值与根节点的值进行比较。如果待查找的值等于根节点的值则查找成功返回该节点。如果待查找的值小于根节点的值由于红黑树也是二叉搜索树该值只可能在左子树中因此在左子树中继续进行查找。如果待查找的值大于根节点的值该值只可能在右子树中因此在右子树中继续进行查找。重复上述步骤直到找到目标节点或者遇到空节点表示查找失败。
代码实现Python
class TreeNode:def __init__(self, val0, colorR, leftNone, rightNone):self.val valself.color colorself.left leftself.right rightdef searchRedBlackTree(root, val):if root is None or root.val val:return rootif val root.val:return searchRedBlackTree(root.left, val)return searchRedBlackTree(root.right, val)# 构建简单红黑树示例这里只是简单构建未完整体现插入调整逻辑
root TreeNode(50, B)
root.left TreeNode(30, R)
root.right TreeNode(70, R)
root.left.left TreeNode(20, B)
root.left.right TreeNode(40, B)
root.right.left TreeNode(60, B)
root.right.right TreeNode(80, B)# 查找值为 60 的节点
result searchRedBlackTree(root, 60)
if result:print(f找到了值为 {result.val} 的节点)
else:print(未找到该节点)复杂度分析
时间复杂度由于红黑树是接近平衡的其高度始终保持在 O ( l o g n ) O(log n) O(logn) 级别其中 n n n 是树中节点的数量因此查找操作的时间复杂度为 O ( l o g n ) O(log n) O(logn)。这意味着在大规模数据集合中红黑树查找能够保持较高的效率。空间复杂度主要取决于递归调用栈的深度平均情况下为 O ( l o g n ) O(log n) O(logn)最坏情况下也为 O ( l o g n ) O(log n) O(logn)。如果使用迭代方式实现查找空间复杂度可以优化到 O ( 1 ) O(1) O(1)。
应用场景 红黑树在许多领域都有广泛的应用以下是一些常见的场景
编程语言的标准库如 Java 的 TreeMap 和 TreeSet、C 的 STL 中的 map 和 set 等利用红黑树的特性实现了有序的键值对存储和快速查找功能。操作系统的内存管理在操作系统中红黑树可用于管理内存块的分配和释放通过红黑树可以快速查找合适的内存块。数据库索引在数据库系统中红黑树可以作为索引结构提高数据的查找效率特别是对于需要频繁进行插入、删除和查找操作的场景。
B 树和B数查询
B树
定义 B 树是一种自平衡的多路搜索树它能够保持数据有序并且允许在对数时间内进行插入、删除和查找操作。B 树的每个节点可以有多个子节点通常大于 2并且所有叶子节点都在同一层。一个 m 阶的 B 树需要满足以下条件
每个节点最多有 m 个子节点。除根节点和叶子节点外每个节点至少有 ⌈ m / 2 ⌉ \lceil m/2 \rceil ⌈m/2⌉ 个子节点。根节点至少有 2 个子节点除非它是叶子节点。所有叶子节点都在同一层。每个节点中的键值按升序排列并且键值的数量比子节点数量少 1。
示例 下面是一个 3 阶 B 树的简单示例 [30, 60]/ | \[10, 20] [40, 50] [70, 80]在这个 3 阶 B 树中根节点包含两个键值 30 和 60有三个子节点。每个子节点包含两个键值并且键值是有序排列的。
B 树查找过程
从根节点开始将待查找的值与根节点中的键值进行比较。如果待查找的值等于根节点中的某个键值则查找成功返回该键值所在的位置。如果待查找的值小于根节点中的某个键值则进入该键值左侧的子节点继续查找。如果待查找的值大于根节点中的所有键值则进入最右侧的子节点继续查找。重复上述步骤在子节点中继续比较和查找直到找到目标键值或者到达叶子节点。如果到达叶子节点仍未找到目标键值则查找失败。
代码实现Python 伪代码
class BTreeNode:def __init__(self, is_leafFalse):self.is_leaf is_leafself.keys []self.child []class BTree:def __init__(self, m):self.root BTreeNode(is_leafTrue)self.m mdef search(self, key):return self._search(self.root, key)def _search(self, node, key):i 0while i len(node.keys) and key node.keys[i]:i 1if i len(node.keys) and key node.keys[i]:return nodeif node.is_leaf:return Nonereturn self._search(node.child[i], key)# 示例使用
b_tree BTree(3)
# 这里省略插入节点的代码
result b_tree.search(40)
if result:print(找到了键值 40)
else:print(未找到键值 40)复杂度分析
时间复杂度B 树的高度 h h h 与节点数量 n n n 的关系为 h O ( log ⌈ m / 2 ⌉ n ) h O(\log_{\lceil m/2 \rceil} n) hO(log⌈m/2⌉n)其中 m m m 是 B 树的阶数。因此B 树查找操作的时间复杂度为 O ( log ⌈ m / 2 ⌉ n ) O(\log_{\lceil m/2 \rceil} n) O(log⌈m/2⌉n)在实际应用中由于 m m m 通常较大查找效率较高。空间复杂度主要取决于树中节点的数量空间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)。
应用场景 B 树常用于文件系统和数据库系统中因为它可以有效减少磁盘 I/O 次数。在这些系统中数据通常存储在磁盘上磁盘 I/O 操作的时间开销较大B 树的多路特性使得每次磁盘 I/O 可以读取或写入多个键值从而提高了系统的性能。
B 树
定义 B 树是 B 树的一种变体它与 B 树的主要区别在于
所有的数据都存储在叶子节点中非叶子节点只存储索引信息。叶子节点之间通过指针相连形成一个有序链表。
示例 以下是一个简单的 B 树示例 [30, 60]/ \[10, 20] [40, 50, 70, 80]| / | \10 40 50 70 - 80 叶子节点相连在这个 B 树中非叶子节点只包含索引键值 30 和 60所有的数据10、20、40、50、70、80都存储在叶子节点中并且叶子节点通过指针形成了有序链表。
B 树查找过程
精确查找从根节点开始按照与 B 树类似的方式将待查找的值与非叶子节点中的键值进行比较确定进入哪个子节点继续查找直到到达叶子节点。在叶子节点中线性查找目标键值。范围查找先通过精确查找找到范围的起始键值所在的叶子节点然后利用叶子节点之间的指针顺序遍历直到找到范围的结束键值或超出范围。
代码实现Python 伪代码
class BPlusTreeNode:def __init__(self, is_leafFalse):self.is_leaf is_leafself.keys []self.child []self.next Noneclass BPlusTree:def __init__(self, m):self.root BPlusTreeNode(is_leafTrue)self.m mdef search(self, key):node self.rootwhile not node.is_leaf:i 0while i len(node.keys) and key node.keys[i]:i 1node node.child[i]for k in node.keys:if k key:return Truereturn False# 示例使用
b_plus_tree BPlusTree(3)
# 这里省略插入节点的代码
result b_plus_tree.search(50)
if result:print(找到了键值 50)
else:print(未找到键值 50)复杂度分析
时间复杂度与 B 树类似B 树的查找操作时间复杂度也为 O ( log ⌈ m / 2 ⌉ n ) O(\log_{\lceil m/2 \rceil} n) O(log⌈m/2⌉n)。对于范围查找由于叶子节点之间有指针相连时间复杂度为 O ( k log ⌈ m / 2 ⌉ n ) O(k \log_{\lceil m/2 \rceil} n) O(klog⌈m/2⌉n)其中 k k k 是范围内键值的数量。空间复杂度同样为 O ( n ) O(n) O(n)主要用于存储树中的节点。
应用场景 B 树在数据库系统中应用广泛如 MySQL 的 InnoDB 存储引擎默认使用 B 树作为索引结构。因为 B 树的结构非常适合范围查询并且由于所有数据都存储在叶子节点使得数据库的插入、删除和查找操作更加高效和稳定。同时叶子节点的有序链表结构也方便进行顺序访问提高了数据的读取效率。
分块查找
也称为索引顺序查找它是一种介于顺序查找和二分查找之间的查找方法。以下从基本思想、实现步骤、复杂度分析、优缺点和适用场景等方面详细介绍
基本思想 分块查找将一个线性表分成若干个块每个块内的元素可以是无序的但块与块之间是有序的即后一个块中所有元素的值都大于前一个块中所有元素的值。同时还需要建立一个索引表索引表中记录了每个块的最大关键字以及该块在原线性表中的起始位置索引表是按关键字有序排列的。
实现步骤 分块查找主要分为两步
确定待查元素所在的块使用二分查找或顺序查找在索引表中查找根据索引表中记录的块的最大关键字确定待查元素可能存在于哪个块中。在块内查找元素在确定的块中使用顺序查找的方法查找待查元素。
示例及代码实现 假设我们有一个线性表 [22, 12, 13, 8, 9, 20, 33, 42, 44, 38, 24, 48]将其分成 3 个块每个块有 4 个元素。 索引表为 [(22, 0), (44, 4), (48, 8)]其中每个元组的第一个元素是块的最大关键字第二个元素是块在原线性表中的起始位置。
以下是 Python 代码实现
def block_search(arr, index_table, target):# 第一步在索引表中确定所在块block_index -1for i in range(len(index_table)):if target index_table[i][0]:block_index ibreakif block_index -1:return -1# 第二步在块内进行顺序查找start index_table[block_index][1]if block_index len(index_table) - 1:end len(arr)else:end index_table[block_index 1][1]for i in range(start, end):if arr[i] target:return ireturn -1# 线性表
arr [22, 12, 13, 8, 9, 20, 33, 42, 44, 38, 24, 48]
# 索引表
index_table [(22, 0), (44, 4), (48, 8)]
target 24
result block_search(arr, index_table, target)
if result ! -1:print(f元素 {target} 在数组中的索引是 {result})
else:print(f未找到元素 {target})复杂度分析
时间复杂度设线性表长度为 n n n分成 b b b 个块每个块有 s s s 个元素 n b × s n b \times s nb×s。在索引表中查找块的时间复杂度如果使用顺序查找为 O ( b ) O(b) O(b)使用二分查找为 O ( log 2 b ) O(\log_2b) O(log2b)在块内进行顺序查找的时间复杂度为 O ( s ) O(s) O(s)。所以分块查找的平均时间复杂度为 O ( b s ) O(b s) O(bs) 或 O ( log 2 b s ) O(\log_2b s) O(log2bs)。当 s n s \sqrt{n} sn 时时间复杂度达到最优为 O ( n ) O(\sqrt{n}) O(n )。空间复杂度主要是索引表占用的额外空间为 O ( b ) O(b) O(b)其中 b b b 是块的数量。
优缺点
优点 对数据的要求相对较低不需要像二分查找那样数据必须完全有序只需要块间有序、块内可以无序这在数据动态变化时比较方便维护。查找效率比顺序查找高尤其是在数据量较大时。 缺点需要额外的存储空间来存储索引表增加了空间开销。
适用场景
数据量较大且分布不均匀当数据量较大且数据的分布不太规则时分块查找可以通过合理分块提高查找效率。数据动态变化由于分块查找只要求块间有序在数据插入、删除时只需要调整相应块内的数据对整体的块间顺序影响较小相比于完全有序的数据结构更易于维护。
斐波那契查找和插值查找在特定场景下有其独特的优势但整体而言它们不如顺序查找、二分查找等方法常用以下为你详细分析
斐波那契查找和插值查找
斐波那契查找
原理斐波那契查找是在二分查找的基础上利用斐波那契数列来确定分割点。它通过斐波那契数列的特性将有序数组分成两部分进行查找使得分割点更偏向于数据分布较密集的一侧。不常用的原因 实现复杂度相对较高需要对斐波那契数列有一定的了解和处理要生成斐波那契数列并根据其规律进行查找区间的划分相较于二分查找实现起来更复杂代码编写和理解成本更高。适用场景受限它主要适用于对数据存储在磁盘等外部存储设备上的查找场景因为它在某些情况下可以减少磁盘 I/O 次数。但在现代计算机系统中内存访问速度有了极大提升且磁盘存储设备的性能也不断改进这种减少磁盘 I/O 的优势不再那么明显。 常用场景在一些对内存使用和数据分布有特殊要求的嵌入式系统或特定算法中可能会使用斐波那契查找。例如在某些资源受限的嵌入式设备中当需要对有序数据进行查找时斐波那契查找可以在一定程度上平衡查找效率和资源消耗。
插值查找
原理插值查找是对二分查找的一种改进它根据待查找关键字在数据集中的大致位置动态地计算分割点。通过估计目标值在数组中的位置插值查找可以更快地缩小查找范围尤其适用于数据均匀分布的有序数组。不常用的原因 对数据分布要求高插值查找的效率依赖于数据的均匀分布。如果数据分布不均匀插值查找的性能可能会大幅下降甚至不如二分查找。在实际应用中很多数据集的数据分布并不均匀这限制了插值查找的广泛使用。边界情况处理复杂当数据分布极端不均匀时插值查找计算出的分割点可能会超出合理范围需要进行额外的边界检查和处理增加了算法的复杂度。 常用场景在数据均匀分布且数据量较大的场景下插值查找能发挥出明显的优势。例如在一些科学计算、地理信息系统等领域数据可能具有较好的均匀性此时使用插值查找可以显著提高查找效率。
